数学思想方法的理解探索

美国著名心理学家布鲁纳认为：“不论我们选教什么学科。务必使学生理解该学科的基本结构。”而所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理”。具体到数学教学中，就是要掌握贯穿在数学学科中的基本的数学思想方法。

一、数学思想方法的涵义

关于数学思想方法的定义，目前存在各种不同的说法。曹才翰认为，“数学思想方法是数学概念、理论的相互联系和本质所在，是贯穿于数学的、具有一定统摄性和概括性的概念。”蔡上鹤认为，“数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果。它是对数学事实与数学理论的本质认识。”朱学志在《数学的历史、思想和方法》一书中指出：“数学思想是人们对数学研究对象统一的、本质的认识。”它包括对数学本质的理解；对数学基本特性、数学对象、数学与其他科学、数学与客观世界的关系的认识以及数学中所创立的新概念、新理论、新模型和新方法的认识。

综合以上各种观点，我们可以发现，数学思想往往是在对较低水平的数学知识进行不断概括、反思基础上提炼出来的中心思想、原理或总纲。数学思想方法是人们对数学知识和方法所形成的规律性认识或基本看法，数学思想方法不同于数学概念、数学命题等理性知识，它更多表现为一种整体的、直观的认识，它属于理性知识但又高于通常所说的理性知识，这种知识作为一种高层次的思维形式它具有高度的抽象性，同时它又具有很强的直观性，它往往会在人的头脑中留下非常清晰的直观形象(常常被称为心理意象)，会让人产生清晰明确、天经地义的感觉。比如对公式(a+b)²=a²+2ab+b²的理解，如果仅仅采用代数方法去推导，学生可能还会有所费解，而若建立正方形模型，利用数形结合的思想来进行理解，学生就会产生清晰明确、天经地义的感觉，以后要想忘记这一公式都很困难。

二、数学思想方法理解的实质

从人类对数学的理解过程来看，数学思想方法通常起源于人们的认识活动。洛克认为，理解过程从事物刺激感官所得到的简单观念开始(这时理解大部分是被动的)，然后运用心中的主动性对简单观念进行合成、联想和抽象而得到复杂观念，大大增加人的理解力(这时候是知觉能力)，理解便运用各种观念作为材料，依照这些观念的契合或相违(以此为范围)，通过感觉的、直觉的和推论的途径，达到对个别事物、一般原则等对象的知识。

简单地说，数学思想方法的理解需要经历从具有不确定性的数学活动经验中抽取出具有确定性的数学知识，产生解决数学问题的方法，然后再运用这些知识和方法来解决现实世界中的问题、解释现实世界中的现象，并在这种解释世界、解决问题的数学活动过程中形成解决数学问题的观念和态度的过程。如果再作进一步概括的话，数学思想方法的理解过程大体经历体验、领悟、深化、升华这四个阶段。

体验，是通过数学活动对数学思想形成感性直观，产生感性体验。以二分法的学习为例，一些有经验的老师往往会在一开始采取与学生一起玩“幸运52”的游戏来让学生体验二分的过程，老师先给出物品的上限和下限价格，让学生猜某件物品的价格，如果学生猜得不对则提醒学生是猜高了还是猜低了，如此这样不断进行下去直到学生猜到或基本猜到物品价格为止。通过这样不断地猜价格游戏学生就对二分法这一思想方法有了感性的体验和初步的认识。

领悟，是在对数学思想有了一定的体验和直观认识的基础上，由于启发和点拨而使头脑中模糊、直观的数学思想清晰化、明确化。这一阶段主要表现为能理解思想方法的含义，基本掌握思想方法的操作程序。在游戏活动的基础上，老师可以让学生类比“幸运52”游戏来猜方程x³+3x-1=0的根，先设函数f(x)=x³+3x-1并随意取两个值比如x=-1，x=1，发现其对应的函数值f(-1)，f(1)恰好异号，说明根在区间(－1，1)内，接着看其二等份值x=0所对应的函数值，发现f(0)＜0，这说明根在区间(0，1)内，然后再看0与1的二等份值x=1/2，发现f(1/2)＞0，这样又可以将根缩小到区间(0，1/2)，这样的程序可以一直进行下去直到找到方程的根或近似根为止。进行到这个时候，老师可以“像这样一种方法我们给它取个名字叫二分法”来使学生领悟二分法这一思想方法的本质。

深化，是在领悟的基础上对该数学思想的本质获得更加清晰的理解。具体表现为能灵活运用这一思想方法解决问题，表现在二分法的教学中就是让学生应用这一方法去解决一些具体问题，比如求方程的近似解，求曲线的近似交点等，通过这样的解题练习使学生熟练掌握二分法。

升华，则是形成运用这一思想观察问题、分析问题和解决问题的态度和数学观。二分法作为解决问题的一种具体方法，还可以进一步上升为逼近这一重要数学思想，如果能认识到二分法是一种逼近思想并能运用逼近思想去观察问题、分析问题和解决问题，那么这一方法就得到了升华。

三、数学思想方法理解的途径

1　在丰富的数学活动中体验数学思想

休谟认为，思想中的一切材料都是由外部的或内部的感觉来的。人心和意志所能为的，只是把它们加以混合罢了。杜威也认为，“思想、观念不可能以观念的形式从一个人传到另一个人。当一个人把观念告诉别人时，对听到的人来说，不再是观念，而是另一个已知的事实。……只有当他亲身考虑问题的种种条件，寻求解决问题的方法时，才算真正在思维。……如果他不能筹划他自己解决问题的办法，自己寻求出路，他就学不到什么。”其实，数学思想方法也是如此，数学思想起源于人类的数学活动，数学思想方法一开始表现为一种感性认识或者数学活动经验，这种经验不可能从人的头脑自发地产生，也不可能从天上掉下来，而只有通过数学活动才能获得。这样，要使学生真正理解数学思想方法就必须积极开展数学活动，让学生在数学活动中感受数学思想方法、体验数学思想方法，让他们获得感性的数学思想方法。

例如通过几何画板演示图形的运动、变化过程就可以使学生更好地体验和感受数形结合思想、运动变换思想等重要数学思想方法。以求函数方程lgx=sinx的解的个数这一问题为例，如果单纯采用手工画图的方法，则可能因为图形不够准确而影响解的精确研究，但如果能借助于GSP(几何画板)则可以比较精确地知道方程解的个数，而更为重要的则是运用GSP可以使形数结合思想得到更好的体现。再比如通过抛硬币、掷骰子游戏，运用计算器、计算机进行模拟活动可以让学生经历数据的收集、整理、描述和分析的完整过程并在这一过程中逐步体会客观事物的不确定性及其频率的稳定性，形成运用概率与统计的观念处理问题的态度与方法，从而更好地感受和体验概率和统计思想。

2　在数学知识的探究过程中领悟数学思想

所谓知识的探究过程，就是要思考知识为什么产生?怎样产生?导致其发生发展的内部驱动力又是什么?对此，数学家杨乐有一个说法，把自己设想为若干年前的数学家，那时还没有产生这条定理，我们循着一条什么样的思路去找到它。这样我们也许就找到了问题的实质，掌握了真正的研究方法。而这样追根究底的结果就是数学家们的数学灵魂数学思想方法。众所周知，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识，数学知识的教学总是以具体的数学知识的教学为载体，并在知识的教学过程中得以实现。一方面，数学知识的探究往往需要借助于一定的数学思想方法，需要通过数学思想为知识的探究开辟道路。从某种意义上来说，数学思想方法是连结新旧数学知识之间的纽带，数学知识的探究某种程度上来说就是数学思想方法的发展和展开的过程。另一方面，通过数学知识的探究又可以促进学生更好地了解和领悟数学思想，在寻找思路的过程中模糊的数学思想逐渐变得清晰，零碎的数学知识逐渐系统化，而在知识系统化的过程中数学思想的脉络也逐步得到显现。

比如，在对问题“平面上，条直线最多可将平面分成多少个不同的部分?”这一问题的探究过程中，可以先从最简单的情况开始考虑，如n=1时，最多有2个区域，当n=2时，最多有4个区域，当n=3时，最多有7个区域，当n=4时，最多有11个区域，……，然后再对这些结论进行归纳，发现，条直线所分出的最大区域数比n-1条直线所分出的最大区域数刚好多n个，这一规律如何用数学语言来进行表示呢?这里就要用到代数语言甚至是函数语言，即将n条直线所分出的最大区域数用数学符号a_n或f(n)来表示，然后就可以将上述规律用递推公式a_n=a_n+n或f(n)=f(n-1)+n来表示，这样虽然也可以按部就班地求得n条直线所分出的最大区域数，但其过程却非常繁琐。如果要想直接求得结果，还需要通过代数变形将递推公式转化为通项公式a_n=1/2(n+1)+1或f(n)=1/2n(n+1)+1

回顾以上探究过程，刚开始考虑n=1、2、3、4、……时的情形用的是特殊化思想方法或以退为进的思想方法；对所分出的区域数2、4、7、11、……进行归纳用到了归纳思想；把探索所得到的规律用数学语言来表示又用到字母代数的思想和函数的思想，这一规律本身又体现了递推的思想；而将递推公式转化为通项公式又用到了化归的思想和函数的思想……。我们可以发现，在数学探究过程中到处都体现着数学思想方法，尽管有些数学思想是学生在探究过程中自发产生的，有些可能需要教师的启发才能产生。只要教师善于启发、点化。就可以使学生头脑中朦胧的数学思想清晰化，隐性的数学思想显性化，使学生在数学探究过程中从原来自发地运用数学思想逐步转变为自觉地运用数学思想来探索发现解题思路，调节、监控自己的思维过程，整理头脑中零碎、无序的数学知识。在这样的探索活动过程中，不仅可以使学生发现和领悟数学知识中所蕴涵的数学思想方法，而且通过不断的探索活动可以促使数学思想的不断发展，深化学生对数学思想方法的认识，同时还可以进一步促使学生养成自觉运用数学思想方法来观察问题、分析问题和解决问题的习惯。

3　在数学方法的运用过程中升华数学思想

数学发展的历史表明，很多数学思想往往是数学方法的升化。比如，变换思想是群论方法的升华，方程思想是解方程这一方法的升华，微积分思想最早起源于割圆术和穷竭法，字母代数的思想是简字代数这一方法的延伸和发展。事实上，人们要进行数学活动，就必须掌握一定的工具和方法，如进行数学活动需要尺、规、模型、实物、电脑等工具，而进行数学思维则需要掌握数学语言这一工具。而这些工具的使用又必须采取一定的方法，这样又导致了数学方法的产生，而数学方法经过反复运用以后又逐渐程序化并最终升华为数学思想。

比如人们在解方程数学活动中就曾经产生了很多方法，如求解一元一次方程的五步法，求解一元二次方程的配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法，求解一元三次方程、一元四次方程的换元法、降次法、变量代换法以及在解决更高次方程的过程中所产生的降次法、逼近法、数值解法等乃至以后解决一般问题的群论方法、变换方法等，这些方法中有很多最终上升为数学思想，如降次法升华为降次思想，群论方法升华为群论思想，变换方法升华为变换思想。

因此，在数学教学中，教师应该积极创造机会让学生运用所学的数学方法，让学生在数学方法的运用过程中深化对数学方法的理解并进而上升为数学思想。比如数形结合思想的教学，在小学阶段可以让学生画图列表养成数形结合的意识；在初中阶段则可以通过数轴的学习、不等式的解集的数轴表示、乘法公式的图解证明以及函数性质与图像的研究让学生逐步形成借助图形解决代数问题的习惯和观念；而到了高中阶段则可以通过解析几何的学习和函数性质的研究使学生进一步深化对数形结合思想方法的认识，养成自觉运用数形结合思想方法解决问题的习惯并最终养成运用数形结合思想认识问题、处理问题的观念。

4　在数学思想的发展脉络中完善数学思想

数学思想既是静态的结构化的知识，同时又是动态的过程性的知识；数学思想既是整体的知识，同时又是具有层次性的知识。因此，认识数学思想就不仅应该知其全貌，而且还应该识其变化，不仅应该理解其整体，而且应该研究其所包含的层次。一句话，应该立足于数学思想发展的动态变化过程才能真正领悟数学思想的本质。

比如，对于变换这一数学思想，如果仅仅只是知道反射、平移、旋转这几种变换可能还很难真正理解变换思想的本质，而一旦将变换这一思想放在数学思想发展的历史长河之中去加以考察，就可以认识到变换思想的来源，变换思想在几何学的分类中所起的作用以及变换在数学教育现代化的进程中所产生的影响，从而就能够更加深刻地认识变换这一数学思想的本质。同时，立足于数学思想发展的历史脉络，不仅有助于我们更好地了解数学思想发展的现状，而且可以让我们更好地把握数学思想发展的未来走向。另外，更为重要的则是通过对数学思想发展历史的把握，可以使我们更好地认识个体数学思想理解的一般规律，可以为我们进行数学思想的教学找到准确的坐标、指明正确的方向、提供强有力的方法指导。具体来说。一方面可以为实施因材施教提供科学依据，知道如何根据具体的教学对象和具体的数学知识来选择合适的数学思想方法进行教学；另一方面，又可以为教学方法的选择提供科学指导，可以知道某种数学思想方法可以在哪些知识点的进行渗透以及采取什么样的方式进行渗透等。

比如函数思想的理解，如果我们能了解函数思想的发展经历从最初的直观认识到后来的“变量说”、“对应说”再到“关系说”这一过程，那么我们在进行函数概念的教学时就能根据学生的年龄特点选择相应的教学策略。在小学阶段可以举一些现实生活或数学中的问题让学生通过数学活动来感受和体验数学思想。如通过统计和测量速度一定的条件下路程与时间的关系，正方形的周长、面积与其边长之间的关系等，可以让学生更好地感受一个变量随另一个变量变化的过程，从而更好地体验函数的思想。在初中阶段则应该通过启发使学生领悟函数思想，使原来感性的函数思想抽象为理性的函数知识和处理问题的方法。具体来说应该让学生了解函数的名称，初步了解函数的概念、函数的表示方法，能分析并刻画实际问题中变量之间的关系。在此基础上进一步了解函数概念中所包含的数学思想方法，让学生认识到函数概念是变量之间关系的压缩，它体现了事物之间相互联系与变化的思想。在高中阶段则应该通过不断的运用来深化对函数思想的理解并进一步将函数方法升华为一种处理实际问题的思想方法。具体来说，应该让学生学会应用集合与对应语言来刻划函数，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。甚至还可以进一步让学生了解函数概念中所包含的现代数学思想如集合与对应思想等并在此基础上形成运用函数思想观察问题、分析问题、解决问题的态度和数学观。

(责任编辑 刘永庆)

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